Question

15．已知函数f（x）=ax³+（a+2）x²-1（x∈R）为偶函数，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的方程为8x-y-9=0．

Answer 1

分析 由偶函数的概念列式求得a值，求出导函数，得到f′（2）的值，再求出f（2），利用直线方程的点斜式得答案．

解答 解：∵函数f（x）=ax³+（a+2）x²-1（x∈R）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即-ax³+（a+2）x²-1=ax³+（a+2）x²-1，
∴2ax³=0，则a=0．
∴f（x）=2x²-1．
则f′（x）=4x，
∴f′（2）=8，又f（2）=7．
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的方程为y-7=8（x-2）．
即8x-y-9=0．
故答案为：8x-y-9=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．