Question

【题目】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为5.

（1）求与的值；

（2）设动直线与抛物线相交于，两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）,； （2）存在点.

【解析】

（1）由抛物线上点的焦半径为可求得，从而再求得；

（2）假设设存在点满足条件，令，，条件转化为，即，整理得：，由直线方程与抛物线方程联立后消去（注意讨论的情形），得的方程，由韦达定理得，代入它是与无关的等式，从而可得．

（1）根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，即

，解得，∴抛物线方程为，

点在抛物线上，得，∴.

（2）抛物线方程为：，

当，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立，

当时，令，，设存在点满足条件，

即：，

即，

整理得：，

，整理得，

∴，，

∴，

∴，解的，

因此存在点满足题意.