Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁⊥底面ABC，D是线段AB的中点，E是线段A₁B₁上任意一点，B₁C∩BC₁=O．
（1）求证：CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）求证：OD∥平面AC₁E．

Answer 1

分析 （1）证明：CD⊥AB，AA₁⊥CD，即可证明CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）证明OD∥AC₁，即可证明OD∥平面AC₁E．

解答 证明：（1）因为AC=BC，D是线段AB的中点，
所以CD⊥AB，…（2分）
又AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥CD，…（4分）
又AB∩AA₁=A，所以CD⊥平面ABB₁A₁，…（6分）
（2）易知四边形BCC₁B₁为平行四边形，则O为BC₁的中点，…（8分）
又D是线段AB的中点，所以OD∥AC₁，…（10分）
而OD?平面AC₁E，AC₁?平面AC₁E，所以OD∥平面AC₁E…（12分）

点评 本题考查线面垂直、平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用相关定理是关键．