Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的极值；

（2）若有两个零点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；

（2）根据零点的概念得到，利用分析法只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可.

（1），

①当时，由于，故，，

所以在内单调递减，无极值；

②当时，由，得，

在上，，在上，，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

函数有极小值，无极大值，

综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.

（2）函数有两个零点，，不妨设，

由（1）得，且，

则，，，

即，

要证：，需证：，

只需证：，只需证：，

只需证：，只需证：，

令，即证，

设，

则，即函数在单调递减，

则，即得.