Question

12．已知椭圆C的一个焦点为（0，$\sqrt{3}$），且经过点P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（1，0），直线l与椭圆C交于M、N两点，且AM⊥AN；
（Ⅰ）若|AM|=|AN|，求直线l的方程；
（II）求△MAN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=$\sqrt{3}$，将P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x²+y²=4，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合直角三角形的性质：斜边的中线即为斜边的一半，解方程可得k，t，进而得到所求直线的方程；
（II）设直线AM的方程为y=k（x-1），由题意可得直线y=-$\frac{1}{k}$（x-1），联立椭圆方程，求得M，N的坐标，由弦长公式，运用三角形的面积公式，化简整理，运用单调性，可得最大值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
将P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）代入椭圆方程，可得
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=2，b=1，
可得椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（2）（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x²+y²=4，
可得（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{2kt}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
△=4k²t²-4（4+k²）（t²-4）＞0，化为4+k²＞t²，
MN的中点H为（-$\frac{kt}{4+{k}^{2}}$，$\frac{4t}{4+{k}^{2}}$），
由题意可得AH⊥MN，可得
k_AH=-$\frac{1}{k}$，即有$\frac{4t}{-kt-4-{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，
化为4+k²=3kt，①
可得H（-$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3k}$），
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（4+{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（{t}^{2}-4）}{4+{k}^{2}}}$
=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4+{k}^{2}-{t}^{2}}}{4+{k}^{2}}$=2|AH|=2$\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{16}{9{k}^{2}}}$，
化简可得3kt=5t²，可得t=0（舍去）或t=$\frac{3k}{5}$．
代入①，解得k=$\sqrt{5}$，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；或k=-$\sqrt{5}$，t=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
即有直线l的方程为y=$\sqrt{5}$x+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或y=-$\sqrt{5}$x-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（II）设直线AM的方程为y=k（x-1），由题意可得直线y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$可得（4+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
由1•x_M=$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，即有x_M=$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
则|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|1-$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{8}{4+{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得|AN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{8}{4+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
则△MAN面积为S=$\frac{1}{2}$|AM|•|AN|=32•$\frac{1}{17+4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$•$\sqrt{2+（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，
设m=$\sqrt{2+（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$≥$\sqrt{2+2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}}$=2，即有S=32•$\frac{m}{9+4{m}^{2}}$=32•$\frac{1}{4m+\frac{9}{m}}$，
由4m+$\frac{9}{m}$在[2，+∞）递增，可得m=2即k=±1时，
即有△MAN面积取得最大值$\frac{64}{25}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，同时考查三角形的面积的最值的求法，注意运用函数的单调性，属于中档题．