Question

20．直角三角形ABC，三内角成等差数列，最短边的边长为m（m＞0），P是△ABC内一点，并且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，则PA+PB+PC=$\sqrt{21}$时，m的值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由条件和等差中项的性质求出各个内角，由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°、∠ACB=60°，可以得到∠ACP=∠PBC，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB、PC的长，即可得出结论．

解答 解：∵直角三角形ABC，三内角成等差数列，设B=90°
∴2A=B+C，又A+B+C=180°，解得A=60°，C=30°，
由AB=m得，BC=$\sqrt{3}$m，AC=2m，
延长BP到B′，在BB'上取点E，使PE=PC，EB′=AP，
∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，
∴△PCE是正三角形，∴∠CEB'=120°=∠APC，
∵AP=EB′，PC=EC，∴△ACP≌△B′CE，
∴∠PCA=∠B′CE，AC=B′C=2m，
∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP，∴∠ACB′=∠PCE=60°，
∵∠ACB=30°，∴∠BCB′=90°，
∵PE=PC，AP=B′E，AC=2AB=2m，BC=$\sqrt{3}$m，
∴PA+PB+PC=B′E+PB+PE=BB′=$\sqrt{B{C}^{2}+CB{′}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}m）^{2}+（2m）^{2}}$=$\sqrt{7}$m，
∵PA+PB+PC=$\sqrt{21}$，∴$\sqrt{21}$=$\sqrt{7}$m，得m=$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题．