Question

5．已知双曲线C₁与双曲线C₂的焦点重合，C₁的方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，若C₂的一条渐近线的倾斜角是C₁的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C₂的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．

解答 解：双曲线C₁与双曲线C₂的焦点重合，C₁的方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，焦点坐标（±2，0）．
双曲线C₁的一条渐近线为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，倾斜角为30°，
C₂的一条渐近线的倾斜角是C₁的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C₂的渐近线y=$±\sqrt{3}x$．
可得$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，c=2，解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
所求双曲线方程为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．