Question

13．已知圆C：（x-4）²+（y-3）²=4和两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[3，7]．

Answer 1

分析 根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设点P（a，b）在圆C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b）；利用∠APB=90°，求出m²，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．

解答 解：∵圆C：（x-4）²+（y-3）²=4，
∴圆心C（4，3），半径r=2；
设点P（a，b）在圆C上，则
$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b）；
∵∠APB=90°，
∴（a+m）（a-m）+b²=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+2=7，最小值是|OC|-r=5-2=3；
∴m的取值范围是[3，7]．
故答案为[3，7]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．