Question

7．设直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x-2）²+y²=r²（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞]．

Answer 1

分析 由题意圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，可知四边形CPMQ是正方形，
圆心到直线的距离小于等于r$\sqrt{2}$，即可存在．

解答 解：由题意，直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x-2）²+y²=r²（r＞0），圆心为（2，0），半径r．
点P，Q是圆C上的点，M是直线上的点，使得∠PMQ=90°，可知，四边形CPMQ是正方形，
圆心到直线的距离d=$\frac{|3×2+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}≤r\sqrt{2}$，
解得：r$≥\sqrt{2}$．
∴r的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞]．
故答案为：[$\sqrt{2}$，+∞]．

点评 本题考查直线与圆的方程的关系，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．