Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n²-4a_n+3，且a₁=3，a_n＞1
（1）设b_n=log₂（a_n-1），证明数列{b_n+1}为等比数列；
（2）设c_n=（2n-1）b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}满足a_n+1=2a_n²-4a_n+3，变形为a_n+1-1=2(an-1)2，两边取对数可得：log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，可得b_n+1=2b_n+1，变形为
b_n+1+1=2（b_n+1），即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=2ⁿ．c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：由数列{a_n}满足a_n+1=2a_n²-4a_n+3，
变形为a_n+1-1=2(an-1)2，
∵a₁=3，a_n＞1，
∴两边取对数可得：log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，
∵b_n=log₂（a_n-1），
∴b_n+1=2b_n+1，
b_n+1+1=2（b_n+1），
又b₁=log₂（a₁-1）=log₂（3-1）=1．
∴数列{b_n+1}为等比数列，首项为2，公比为2；
（2）解：由（1）可得：b_n=2ⁿ．
∴c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=

4(2n-1)

2-1

-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查了对数的运算性质、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．