Question

9．边长为整数的直角三角形的一条直角边等于106，求它的斜边上的高．

Answer 1

分析 设另外两边为a，c（c为斜边），根据勾股定理列出方程，由a，c均为整数得出a，c的值．

解答 解：设直角三角形的另一直角边为a，斜边为c，
则由勾股定理得：c²-a²=106²，
即（c+a）（c-a）=106²=2×2×53×53．
∵c+a＞106＞c-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c+a=53×53}\\{c-a=2×2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×53×53}\\{c-a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×2×53}\\{c-a=53}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×2×53×53}\\{c-a=1}\end{array}\right.$．
∵a，c都是整数，∴2c为偶数．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c+a=2×53×53}\\{c-a=2}\end{array}\right.$，解得a=53²-1=2808，c=53²+1=2810，
斜边上的高为$\frac{106a}{c}$=$\frac{106×2808}{2810}$=105.925．

点评 本题考查了勾股定理的应用，数的分解，属于中档题．