Question

（本小题15分）已知函数f(x)=(1+x)²-aln(1+x)²在(-2,-1)上是增函数，
在（-∞，-2）上为减函数.
（1）求f(x)的表达式；
（2）若当x∈时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值；
（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x²+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围.

Answer 1

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².(2)需m＞e²-2；
（3）存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件.

本试题主要是考查了函数单调性与导数的关系和函数奇偶性以及函数与不等式的关系的综合运用。
（1）求解函数的导数 f′(x)=2(1+x)-
=2·,
那么依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0.从而得到解析式。
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,易证函数在上单调递减，
因此若使原不等式恒成立只需求解其最大值m＞e²-2即可.
（3）若存在实数b使得条件成立，
方程f(x)=x²+x+b即为x-b+1-ln(1+x)²=0,
要使方程f(x)=x²+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件.
解 （1）∵f′(x)=2(1+x)-
=2·,
依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-∞,-2)上为减函数.∴x=-2时，f（x）有极小值，∴f′（-2）=0.
代入方程解得a=1,
故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².
(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,
令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.
（由于x∈，故x₂=-2舍去），
易证函数在上单调递减，
在［0，e-1］上单调递增，
且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,
故当x∈时，f(x)_max=e²-2,
因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.
（3）若存在实数b使得条件成立，
方程f(x)=x²+x+b
即为x-b+1-ln(1+x)²=0,
令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,
则g′(x)=1-=,
令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,
令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,
故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x²+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,
故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件.