Question

12．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （I）由$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展开化为ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ），把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（II）把直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：${t}^{2}+2\sqrt{2}t-4=0$，利用根与系数的关系可得|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．利用$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可得出．

解答 解：（I）由$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展开化为ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ），
化为x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8．
（II）把直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：${t}^{2}+2\sqrt{2}t-4=0$，
∴t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4＜0．
|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}-4×（-4）}$=2$\sqrt{6}$．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{2\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．