Question

3．如图所示，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的边的中点．
（1）求证：DF∥平面EAB；
（2）求二面角E-BD-F的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点G，连结EG、GF，通过中位线定理可得四边形DEGF是平行四边形，利用线面平行的判定定理即得结论；
（2）以A为原点建立空间坐标系A-xyz，取AC的中点M，连结EM，利用法向量求出二面角E-BD-F的余弦值，再根据平方关系即得结论．

解答 （1）证明：取AB的中点G，连结EG、GF，
∵GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，且ED∥AC，ED=$\frac{1}{2}$AC，
∴GF∥FD，且GF=ED，
∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF∥GE，
又∵GE?平面EAB，DF?平面EAB，
∴DF∥平面EAB；
（2）解：以A为原点建立空间坐标系A-xyz如图，
取AC的中点M，连结EM，则EM⊥AC，
在Rt△EAM中，EA=2a，AM=a，
∴EM=$\sqrt{3}$a，∴DC=$\sqrt{3}$a，
故A（0，0，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），
D（0，2a，$\sqrt{3}$a），E（0，a，$\sqrt{3}$a），F（a，a，0），
∴$\overrightarrow{EB}$=（2a，-a，-$\sqrt{3}$a），$\overrightarrow{ED}$=（0，a，0），
设平面EBD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2a{x}_{1}-a{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
又$\overrightarrow{FB}$=（a，-a，0），$\overrightarrow{FD}$=（-a，a，$\sqrt{3}$a），
设平面FBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a{x}_{2}-a{y}_{2}=0}\\{-a{x}_{2}+a{y}_{2}+\sqrt{3}a{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令x₂=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$，
∴二面角E-BD-F的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{42}}{14}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{154}}{14}$．

点评 本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．