Question

【题目】某工厂有120名工人，其年龄都在20~ 60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试。已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示。假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响。

年龄分组	A项培训成绩 优秀人数	B项培训成绩 优秀人数
[20，30）	27	16
[30，40）	28	18
[40，50)	16	9
[50，60]	6	4

（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；

（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；

（3）随机从年龄段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，设这两人中A、B两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）12，14，8，6；（2）37岁；（3）见解析.

【解析】分析：（1）由频率分布直方图得各年龄段的频率，分别乘以40即可得人数；

（2）将各年龄段的中点值乘以频率累加可得平均年龄；

（3）先分别计算年龄在[20，30）和年龄段[40，50）的工人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率，由题设知，X的可能取值为0，1，2，进而求概率可得分布列，利用期望公式可得期望.

详解：(1)由频率分布直方图可知，年龄段[20，30），[30，40），[40，50)，[50,60]的人数的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15.

因为40×0.3=12，40×0.35 =14，40×0.2=8，40×0.15 =6，

所以年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]应抽取人数分别为12，14，8，6．

(2)因为各年龄段的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，则25×0.3+35×0.35 +45×0.2+55×0.15= 37.由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁.

(3)因为年龄在[20，30）的工人数为120×0.3=36，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，

所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为.

因为年龄段[40，50）的工人数为120×0.2=24，从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为 ，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，所以A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为．

由题设知，X的可能取值为0，1，2．

其中，

，

，

所以X的分布列如下表：

X	0	1	2
P

所以.