Question

已知函数f（x）=|x-a|-|x+3|，a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1，对x的取值范围分类讨论，去掉上式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）依题意知，|x-a|≤x+7，由此得a≥-7且a≤2x+7，当x∈[0，3]时，易求2x+7的最小值，从而可得a的取值范围．

解答： 解：
（Ⅰ）当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1．
当x≤-3时，不等式化为-（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；
当-3＜x＜-1时，不等式化为-（x+1）-（x+3）≤1，解得-

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≤x＜-1；
当x≥-1时，不等式化为（x+1）-（x+3）≤1，不等式必成立．
综上，不等式的解集为[-

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2

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x-a|≤x+7，
由此得a≥-7且a≤2x+7．
当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，
所以a的取值范围是[-7，7]．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．