Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ），g（x）=2cos（ωx+φ）若对任意的x∈R都有f（

π

3

+x）=f（

π

3

-x），则g（

π

3

）=

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：先根据f（

π

3

+x）=f（

π

3

-x），确定x=

π

3

是函数f（x）的对称轴，再由正余弦函数在其对称轴上取最值得到 

π

3

ω+φ=

π

2

，（k∈Z），然后将x=

π

3

代入函数g（x）即可得到答案．

解答： 解：函数f（x）=sin（ωx+φ），若对任意的x∈R都有f（

π

3

+x）=f（

π

3

-x），所以函数的一条对称轴方程为x=

π

3

，且x=

π

3

时函数f（x）过最高点或最低点．
∴sin（

π

3

ω+φ）=±1，∴

π

3

ω+φ=

π

2

+kπ，（k∈Z）
g（

π

3

）=2cos（

π

3

ω+φ）=2cos（

π

2

+kπ）=0
故答案为：0．

点评：本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值．