Question

已知圆P：x²+y²=4y及抛物线S：x²=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题利用待定系数设出直线的方程，根据直线和曲线的方程联列方程组，用弦长公式表示出AB、CD的长度，可将条件“三条线段成等差”转化为线段AD、BC的关系，得到斜率k的关系式，解方程求出k的值，得本题结论．

解答： 解：∵圆P：x²+y²=4y，
∴x²+（y-2）²=4．
圆心P（0，2），半径r=2，BC=4．
∵线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，
∴AB+CD=BC，
∴AB+BC+CD=3BC，
∴AD=12．
设直线l的方程为：y=kx+2，
由

y=kx+2 x2=8y

，得到：x²-8kx-16=0，
由弦长公式知：AD=

(1+k2)(x2-x1)2

=8（k²+1）．
∴8（k²+1）=12．
∴k=±

2

2

．

点评：本题考查了圆的标准方程、等差的转化、弦长公式，有一定的思维难度和计算难度，属于中档题．