Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1 ， y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）

（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2）若 +λ = ，求证：直线AB的斜率的平方为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线y2=2px的焦点F（ ，0），准线方程为x=﹣ ，

则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，

则x1= ，即有d= + =3，即p=3，

则抛物线的方程为y2=6x；

（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+ ），代入抛物线的方程，可得

k2x2+p（k2﹣2）x+ =0，

由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，

x1= ，x2= ，

由d=2λp，可得x1+ =2λp，

由 +λ = ，M（﹣ ，0），

可得x1+ =λ（x2﹣x1），

即有2p=x2﹣x1= ，

解得k2= ．

故直线AB的斜率的平方为定值．

【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；（2）设B（x2 ， y2），AB：y=k（x+ ），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1 ， 解方程即可得到所求定值．