Question

如图，已知椭圆C：＋y²＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．

(1)设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；

(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

Answer 1

 (1)证明　易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)

所以＋(m＋n)²＝1，即m²＋n²＝.故点Q(m，n)在定圆x²＋y²＝上．(8分)

(2)解　设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则＝－.

平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.(10分)

因为直线MN的方程为(x₂－x₁)x－(y₂－y₁)y＋x₁y₂－x₂y₁＝0，

所以O到直线MN的距离为

d＝

所以△OMN的面积S＝MN·d

＝＝1.

故△OMN的面积为定值1.(16分)