Question

【题目】如图，已知椭圆C：（）的上顶点为，离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点A作圆（圆在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点，

【解析】

（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；

（2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆，解出B，D坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率的关系，表示出直线BD的方程即可求得过定点.

解：（1）依题意可得：）

（2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得：

，

可得；同理可得

由圆M与l相切得：

由韦达定理得：

所以直线BD的斜率……

直线BD的方程为：

化简为：，即

所以，当变化时，直线BD总过定点