Question

12．已知R上的函数，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}^{（3-x）}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≤0）\\ f（x-1）-f（x-2）\;（x＞0）\end{array}\right.$，则f（2017）=log₂3-2．

Answer 1

分析 由已知得f（x+6）=f（x），从而f（2017）=f（1）=f（0）-f（-1），由此能求出结果．

解答 解：∵R上的函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}^{（3-x）}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≤0）\\ f（x-1）-f（x-2）\;（x＞0）\end{array}\right.$，
f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）=[f（x+4）-f（x+3）]-f（x+4）=-f（x+3）
=-[f（x+2）-f（x+1）]=-f[f（x+1）-f（x）-f（x+1）]=f（x），
∴f（2017）=f（1）=f（0）-f（-1）=log₂3-log₂4=log₂3-2．
故答案为：log₂3-2．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．