Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，，求当内切圆的面积最大时内切圆圆心的坐标；

（3）若直线：与椭圆交于、两点，证明直线与的交点在直线上．

Answer 1

（1）设椭圆方程为，

将、、代入椭圆E的方程，得

，解得，．

∴椭圆的方程 ．                                                                

故内切圆圆心的坐标为．                    

（3）解法一：将直线代入椭圆的方程并整理得

．

设直线与椭圆的交点，．

由韦达定理得，．

直线的方程为，它与直线的交点坐标为，

同理可求得直线与直线的交点坐标为．

下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等．

∵，

∴

因此结论成立．

综上可知直线与直线的交点住直线上．                

解法二：直线的方程为，即．

由直线的方程为，即

由直线与直线的方程消去，得

      

      

故直线与直线的交点在直线上．