Question

15．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2x+5$．
（1）求函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线方程．
（2）若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线斜率、切点坐标，即可求函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线方程．
（2）令f（x）=2x+m，即$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+5=2x+m，设g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+5，若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，转化为函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2x+5$，
∴f'（x）=x²-3x+2，…（1分）
f'（3）=2，$f（3）=\frac{13}{2}$…（3分）
f（x）在（3，f（3））处的切线方程是$y-\frac{13}{2}=2（x-3）$，…（4分）
即4x-2y+1=0…（5分）
（2）令f（x）=2x+m，即$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+5=2x+m，
∴$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+5=m，
设g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+5，…（7分）
∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，
∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，
当0＜x＜3时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，…（9分）
∵g（0）=5，g（3）=$\frac{1}{2}$，
即$g{（x）_{极大值}}=5，g{（x）_{极小值}}=\frac{1}{2}$，…（11分）
画出函数g（x）的大致图象如图，

∴实数m的取值范围为$\frac{1}{2}＜m＜5$．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数图象的交点问题，考查学生转化问题的能力，属于中档题．