Question

7．定义在R上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-3|}（x≠3）}\\{2（x=3）}\end{array}\right.$，若f²（x）+af（x）+b=2015有五个不等的实数根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则这五个实数根的和是15．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程根的情况可判断f（3）一定是一个解，再假设f（x）的一解为A可得到x₁+x₂=6，同理可得到x₃+x₄=6，进而可得到x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=15，即可得到最后答案．

解答 解：对于f²（x）+bf（x）+c=2015来说，f（x）最多只有2解，
又f（x）=$\frac{1}{|x-3|}$（x≠3），函数关于x=3对称，当x不等于3时，x最多四解．
而题目要求5解，即可推断f（3）为一解，
假设f（x）的另一个解为A，得f（x）=$\frac{1}{|x-2|}$=A；
根据函数y═$\frac{1}{|x-3|}$的对称性得出：x₁=3+A，x₂=3-A，x₁+x₂=6；
同理：x₃+x₄=6；
所以：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=6+6+3=15；
故答案为：15．

点评 本题主要考查一元二次方程根的情况和含有绝对值的函数的解法，考查基础知识的综合运用能力．