Question

2．已知函数f（x）=2alnx-x²．
（1）若a=2，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，判定函数f（x）在定义域上是否存在最大值或最小值，若存在，求出函数f（x）最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率、切点坐标，即可求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）最大值或最小值．

解答 解：（1）若a=2，f（x）=4lnx-x²．
∴f′（x）=$\frac{4}{x}$-2x，
∴f′（1）=2，
∵f（1）=-1，
∴函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=2（x-1），即2x-y-3=0；
（2）f′（x）=$\frac{-2（{x}^{2}-a）}{x}$，x＞0．
由f′（x）＞0，可得0$＜x＜\sqrt{a}$，函数单调递增，f′（x）＜0，可得x$＞\sqrt{a}$，函数单调递减，
∴函数f（x）在（0，+∞）上最大值为f（$\sqrt{a}$）=alna-a，无最小值．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．