Question

14．等比数列{c_n}满足c_n+1+c_n=10•4^n-1，n∈N，数列{a_n}满足c_n=${2^{a_n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，结合等比数列的通项公式可求公比q及c₁，代入等比数列的通项公式可求c_n，然后由cn=2an可求a_n，
（2）由b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，考虑利用裂项求和即可求解T_n．
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，结合（2）代入可得 $\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，解不等式可求m的范围，然后结合m∈N^*，m＞1可求．

解答 解：（1）解：由题意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=c₁q+c₂q=40，
所以公比q=4，
∴c₁+4c₁=10
∴c₁=2．
由等比数列的通项公式可得，c_n=2•4^n-1=2^2n-1．
∵c_n=${2^{a_n}}$═2^2n-1
∴a_n=2n-1；
（2）∵b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
于是T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]=$\frac{n}{2n+1}$．
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，
则（ $\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{2n+1}$．
可得$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，
由分子为正，解得1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由m∈N^*，m＞1，得m=2，此时n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．             
说明：只有结论，m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．

点评 本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．