Question

12．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两焦点坐标为$（{-\sqrt{2}，0}），（{\sqrt{2}，0}）$，且过点$（{\sqrt{2}，1}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$作直线交椭圆于A，C两点．直线OP交椭圆于B，D两点．若P为AC中点，
①求直线AC的方程；
②求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：c=$\sqrt{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）①设直线AC的方程为：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=k（x-1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．与题意方程联立化为：（1+2k²）x²+$（2\sqrt{2}k-4{k}^{2}）$x+2k²-2$\sqrt{2}$k-3=0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得k，即可得出．
②由①可得：x²-2x=0，解得x=0，2．可得|AC|=$\sqrt{6}$．直线OP的方程为：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．与题意方程联立解得B，D坐标．分别求出点B到AC的距离d₁．点D到AC的距离d₂．利用四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：c=$\sqrt{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解得：a=2，b²=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（II）①设直线AC的方程为：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=k（x-1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{\sqrt{2}}{2}-k}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²+$（2\sqrt{2}k-4{k}^{2}）$x+2k²-2$\sqrt{2}$k-3=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}-2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$=1，解得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线AC的方程为：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），化为：x+$\sqrt{2}$y-2=0．
②由①可得：x²-2x=0，解得x=0，2．
∴C（2，0），A（0，$\sqrt{2}$）．
|AC|=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
直线OP的方程为：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴B（$\sqrt{2}$，1），D（-$\sqrt{2}$，-1）．
点B到AC的距离d₁=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$．
点D到AC的距离d₂=$\frac{|-\sqrt{2}+\sqrt{2}-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）
=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×（$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=2．

点评 本题考查了椭圆的吧方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．