Question

11．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为60°的扇形，则该圆锥的体积为$\frac{\sqrt{35}}{24}$π．

Answer 1

分析 由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为60°，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．

解答 解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为60°半径为3的扇形，
∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为$\frac{π}{3}$×3=π，
∴底面圆的半径r=$\frac{1}{2}$，可得底面圆的面积为π×r²=$\frac{1}{4}$π，
又圆锥的高h=$\sqrt{9-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{35}}{2}$，
故圆锥的体积为V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$π×$\frac{\sqrt{35}}{2}$=$\frac{\sqrt{35}}{24}$π，
故答案为：$\frac{\sqrt{35}}{24}$π．

点评 本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．