Question

1．已知数列{b_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N₊）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²+2n（n∈N₊）．可得n=1时，b₁=3；n≥2时，b_n=S_n-S_n-1．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²+2n（n∈N₊）．∴n=1时，b₁=3；n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
n=1时也成立，∴b_n=2n+1．
（2）由（1）可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．