Question

9．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{3}$AD，PA⊥底面ABCD，过AB的平面交PD于AB，交PC于N（N与A不重合）．
（Ⅰ）求证：MN∥BC；
（Ⅱ）如果BM⊥AC，求此时$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理证明MN∥BC；
（Ⅱ）过M作MK∥PA交AD于K，连结BK，证明AC⊥BK．知$AK=\frac{1}{3}AD$，即可求此时$\frac{PM}{PD}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：因为梯形ABCD，且BC∥AD，
又因为BC?平面PAD，AB?平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
因为平面BCNM∩平面PAD=MN，
所以MN∥BC． …（4分）
（Ⅱ）解：过M作MK∥PA交AD于K，连结BK．
因为PA⊥底面ABCD，
所以MK⊥底面ABCD
所以MK⊥AC．
又因为BM⊥AC，BM∩MK=M
所以AC⊥平面BMK，
所以AC⊥BK．
知$AK=\frac{1}{3}AD$，
所以$\frac{PM}{PD}=\frac{1}{3}$．    …（12分）

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．