Question

16．已知命题p：“对任意x∈R，ax²-ax+1＞0恒成立”，命题q：“若x+y=1，对任意的x＞0，y＞0，$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}$≥a恒成立．”，若“p或q”为真，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若“p或q”为真，“p且q”为假命题，命题p与命题q一真一假，分别求出命题p，q为真时实数a的范围，分类讨论后，综合可得答案．

解答 解：命题p为真命题时，即对任意x∈R，ax²-ax+1＞0恒成立
（1）当a=0时，1＞0恒成立；
（2）当a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a^2}-4a＜0\end{array}\right.⇒0＜a＜4$
所以a∈[0，4）…（4分）
命题q为真命题时，
即若x+y=1，对任意的x＞0，y＞0，$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}≥a$恒成立$⇒{（\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}）_{min}}≥a$$（\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}）=（\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}）（x+y）=1+\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}≥1+2\sqrt{\frac{y}{2x}×\frac{x}{2y}}=2$
所以a∈（-∞，2]…（8分）
由题知：命题p与命题q一真一假
所以$\left\{\begin{array}{l}0≤a＜4\\ a＞2\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a＜0或a≥4\\ a≤2\end{array}\right.$
解得：a∈（-∞，0）∪（2，4）…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，恒成立问题，基本不等式，难度中档．