Question

11．（1）求函数y=$\frac{2x-1}{x+1}$，x∈[3，5]的最值；
（2）设0≤x≤2，求函数y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5的最值．

Answer 1

分析 （1）y=$\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-3}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$，利用函数的单调性即可得出．
（2）y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5=$\frac{1}{2}×（{2}^{x}）^{2}$-3•2^x+5，令2^x=t，由0≤x≤2，可得t∈[1，4]．y=f（t）=$\frac{1}{2}×{t}^{2}$-3t+5=$\frac{1}{2}（t-3）^{2}$+$\frac{1}{2}$，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）y=$\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-3}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$，
∵x∈[3，5]，∴$\frac{1}{x+1}$∈$[\frac{1}{6}，\frac{1}{4}]$，
∴y∈$[\frac{5}{4}，\frac{3}{2}]$．
（2）y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}}$-3•2^x+5=$\frac{1}{2}×（{2}^{x}）^{2}$-3•2^x+5，
令2^x=t，∵0≤x≤2，∴t∈[1，4]．
∴y=f（t）=$\frac{1}{2}×{t}^{2}$-3t+5=$\frac{1}{2}（t-3）^{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（t）_min=f（3）=$\frac{1}{2}$，当t=3，即x=log₂3时取得最小值．
而f（1）=$\frac{5}{2}$，f（4）=1．∴f（t）_max=f（1）=$\frac{5}{2}$，当t=1，即x=0时，取得最大值．

点评 本题考查了反比例函数的单调性、二次函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．