Question

13．定义在（-2，2）上的函数f（x）=-5x+x⁵，如果f（1+2a²）+f（a-2）＞0，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，根据定义域优先，由$\left\{\begin{array}{l}{1+2{a}^{2}＜2}\\{-2＜a-2＜2}\end{array}\right.$得0＜a$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后结合函数的性质求解即可．

解答 解：因为f（x）=-5x+x⁵
∴f（x）是R上的奇函数，且当x∈[0，2）时，有f′（x）=-5+5x⁴=5（x⁴-1），
因此，当x∈[0，1），f（x）递减；当x∈（1，2）时，f（x）递增，且f（x）在x=1处取极小值，
根据定义域优先，由$\left\{\begin{array}{l}{1+2{a}^{2}＜2}\\{-2＜a-2＜2}\end{array}\right.$得0＜a$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以1＜1+2a²＜2，2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2-a＜2．
由f（1+2a²）＞-f（a-2）=f（2-a），得1+2a²＞2-a，即2a²+a-1＞0，
故a＞$\frac{1}{2}$，或a＜-1，又0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选D．

点评 本题主要考查函数的定义域，函数的性质，奇偶性和单调性以及极值的问题，属于中档题．