Question

6．函数y=x+$\sqrt{2-x}$的值域为（　　）

• A． $（\frac{9}{4}，+∞）$
• B． $[\frac{9}{4}，+∞）$
• C． $（-∞，\frac{9}{4}）$
• D． $（-∞，\frac{9}{4}]$

Answer 1

分析 利用换元法转化为二次函数求解值域即可．

解答 解：由题意：函数y=x+$\sqrt{2-x}$，
令t=$\sqrt{2-x}$，则函数t的值域为[0，+∞），可得：x=2-t²，
那么：函数y=x+$\sqrt{2-x}$转化为f（t）=2-t²+t，
开口向下，对称轴t=$\frac{1}{2}$，
∵t≥0，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，函数f（t）取得最大值为$f（\frac{1}{2}）_{max}$=$\frac{9}{4}$，
即函数y=x+$\sqrt{2-x}$的最大值为$\frac{9}{4}$．
∴函数y=x+$\sqrt{2-x}$的值域为（-∞，$\frac{9}{4}$]．
故选D．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．