Question

11．已知$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$sin（\frac{β}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则$cos（α-\frac{β}{2}）$=（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{9}$
• D． $-\frac{{\sqrt{6}}}{9}$

Answer 1

分析 根据题意，利用三角恒等变换和同角的三角函数关系，求出$cos（α-\frac{β}{2}）$的值．

解答 解：$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{2}$＜$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
又$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$sin（\frac{β}{2}+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1{-（\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1{-（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$cos（α-\frac{β}{2}）$=cos[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）]
=cos（α+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）sin（$\frac{β}{2}$+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{3}$×（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查了三角恒等变换与同角的三角函数关系应用问题，是基础题．