Question

1．已知 $A（{cos^2}x，sinx），B（1，cosx），设f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}，O为坐标原点$，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，求函数的单调增区间和最值．

Answer 1

分析 （1）根据向量坐标的运用，求出f（x）的解析式，化简，即可求f（x）的最小正周期；
（2）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，求出内层函数范围，结合三角函数的性质求函数的单调增区间和最值．

解答 解：由题意，f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cos²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）当$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$时，
那么2x$+\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴$-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即$-\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}$，函数f（x）是单调性递增，
故得函数的单调增区间为[$-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]．
当$-\frac{π}{2}$=2x$+\frac{π}{4}$时，函数f（x）取得最小值为$-1×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
当2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．