Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA₁=$\sqrt{2}$
（1）求证：B₁C∥平面A₁BM
（2）求证：平面AC₁B₁⊥平面A₁BM．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁交A₁B于O，连接OM．利用三角形中位线定理可得OM∥B₁C．利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）侧棱AA₁⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴可得⊥BM．利用等腰三角形的性质可得BM⊥AC．可得BM⊥平面ACC₁A₁．BM⊥AC₁．在RT△ACC₁和RT△A₁AM中，由tan∠ACC₁=tan∠A₁MA=$\sqrt{2}$，可得∠ACC₁=∠A₁MA，可得A₁M⊥AC₁．AC₁⊥平面A₁BM．即可证明．

解答 证明：（1）连接AB₁交A₁B于O，连接OM．
在△B₁AC中，∵M，O分别为AC，AB₁的中点，
∴OM∥B₁C．
又∵OM?平面A₁BM，B₁C?平面A₁BM，
∴B₁C∥平面A₁BM．
（2）∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BM?平面ABC，∴AA₁⊥BM．
又∵M为棱AC中点，AB=BC，∴BM⊥AC．
∵AA₁∩AC=A，∴BM⊥平面ACC₁A₁．
∴BM⊥AC₁．
∵M为棱AC中点，AC=2，∴AM=1．
又∵AA₁=$\sqrt{2}$，∴在RT△ACC₁和RT△A₁AM中，
tan∠ACC₁=tan∠A₁MA=$\sqrt{2}$，
∴∠ACC₁=∠A₁MA，
即∠ACC₁+∠C₁AC=∠A₁MA+∠C₁AC=90°，．
∴A₁M⊥AC₁．∵BM∩A₁M=M，
∴AC₁⊥平面A₁BM．AC₁?平面AC₁B₁
平面AC₁B₁⊥平面A₁BM．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、直角三角形的边角关系、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．