Question

8．设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，若a是从区间[0，4]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析 本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，而构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，根据几何概型公式得到结果．

解答 解：设事件A为“方程x²+2ax+b²=0有实根”．
则△=4a²-4b²≥0，即a²≥b²．
又∵a≥0，b≥0，
∴a≥b．
试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，而构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，a≥b}，即如图所示的阴影部分：

∴P（A）=$\frac{3×4-\frac{1}{2}×{3}^{2}}{4×3}$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题给出含有字母参数的一元二次方程，求方程有实数根的概率．着重考查了一元二次方程根的判别式、不等式表示的平面区域、面积公式和几何概型计算公式等知识，属于中档题．