Question

19．已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+m\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，（t为参数），消去参数t可得普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：${t^2}+（\sqrt{3}m-\sqrt{3}）t+{m^2}-2m=0$，由△＞0，解得m范围，利用|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+m\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，（t为参数），
消去参数t可得$x=\sqrt{3}y+m$．
由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐标方程：x²+y²=2x．
（Ⅱ）把$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+m\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入x²+y²=2x，
得${t^2}+（\sqrt{3}m-\sqrt{3}）t+{m^2}-2m=0$，
由△＞0，解得-1＜m＜3．
∴${t_1}{t_2}={m^2}-2m$．
∵|PA|•|PB|=1=|t₁t₂|，∴m²-2m=±1，
解得$m=1±\sqrt{2}$或1．
又满足△＞0．∴实数$m=1±\sqrt{2}$或1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．