Question

9．数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）
（1）若a_n=n²-n，试判断{△a_n}是否是等差数列，并说明理由；
（2）若a₁=1，△a_n-a_n=2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对（b）中的数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得b₁C${\;}_{n}^{1}$+b₂C${\;}_{n}^{2}$+…+b_nC${\;}_{n}^{n}$=a_n，对一切n∈N^*都成立，若存在，求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据数列{a_n}的通项公式a_n=n²-n，结合新定义，可判定{△a_n}是首项为4，公差为2的等差数列；
（2）由△a_n-a_n=2ⁿ入手能够求出数列{a_n}的通项公式；
（3）结合组合数的性质：1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1进行求解．

解答 解：（1）若a_n=n²-n，试判断{△a_n}是等差数列，理由如下：
∵a_n=n²-n，
∴△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²-（n+1）-（n²-n）=2n，
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，
∴{△a_n}是首项为4，公差为2的等差数列；
（2）∵△a_n-a_n=2ⁿ．△a_n=a_n+1-a_n，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，（6分）
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}构成以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{2}$⇒a_n=n•2^n-1；
（3）b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n，即b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n•2^n-1，
∵1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1，
∴存在等差数列{b_n}，b_n=n，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n对一切自然n∈N都成立．

点评 第（1）题考查等差数列的证明，解题时要注意等差数列性质的合理运用；第（2）题考查数列通项公式的求解方法，解题时要注意构造法的合理运用；第（3）题考查数列前n项和的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．