Question

4．已知函数$f（x）=lg\frac{ax-1}{x-1}（{a＞0}）$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若函数$f（x）=lg\frac{ax-1}{x-1}（{a＞0}）$的真数为正，则（ax-1）（x-1）＞0，分类讨论，可得不同情况下函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，只需要$g（x）=a+\frac{a-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，且大于零恒成立，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）若函数$f（x）=lg\frac{ax-1}{x-1}（{a＞0}）$的真数为正，
则（ax-1）（x-1）＞0，
当a=1时，函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；
当0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为$\left\{{x|x＜1或x＞\frac{1}{a}}\right\}$；
当a＞1时$\left\{{x|x＜\frac{1}{a}或x＞1}\right\}$．
（2）$f（x）=lg\frac{{a（{x-1}）+a-1}}{x-1}=lg（{a+\frac{a-1}{x-1}}）$，
函数f（x）在区间[10，+∞）上是增函数，
只需要$g（x）=a+\frac{a-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，且大于零．
即当x₁＞x₂≥10时，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{a-1}）}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}＞0$恒成立．
∵x₂-x₁＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴k-1＜0即可．
$g（x）=a+\frac{a-1}{x-1}$在区间[10，+∞）上是增函数，
要使g（x）＞0恒成立，
只要$g（{10}）＞0⇒k＞\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{10}＜k＜1$．

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，复合函数的单调性，函数恒成立问题，难度中档．