Question

18．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12，b=4$\sqrt{6}$，O为△ABC的外接圆的圆心．
①若cosA=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积S；
②若D为BC边上任意一点，$\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 ①由$cosA=\frac{4}{5}$，得$sinA=\frac{3}{5}$，代入三角形面积公式求得△ABC的面积S；
②由$\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，利用余弦定理求出$|\overrightarrow{AO}|$，再由正弦定理求得sinB的值．

解答 解：①由$cosA=\frac{4}{5}$，得$sinA=\frac{3}{5}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×12×\frac{3}{5}=\frac{72\sqrt{6}}{5}$；
②由$\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
可得$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
于是$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$，
即${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|cos∠OAB$$+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AO}|cos∠OAC$，（1）
又O为△ABC的外接圆圆心，则$|{\overrightarrow{AO}}|cos∠OAB=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}}|$，$|{\overrightarrow{AO}}|cos∠OAC$=$\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AC}}|$，（2）
将（1）代入（2），得到${\overrightarrow{AO}}^{2}=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{8}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\frac{1}{4}×144+\frac{1}{8}×96=48$，
解得|$\overrightarrow{AO}$|=4$\sqrt{3}$．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=2R=8\sqrt{3}$，
可解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，是中档题．