【题目】已知函数f(x)=|x|+ ﹣1(x≠0)
(1)当m=1时,判断f(x)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意x∈(1,+∞),不等式 f(log2x)>0恒成立,求m的取值范围.
(3)讨论f(x)零点的个数.
【答案】
(1)
解:由当m=1,且x<0时,f(x)=﹣x+ ﹣1是单调递减的.
证明:设x1<x2<0,则
f(x1)﹣f(x2)=﹣x1+ ﹣1﹣(﹣x2+ ﹣1)=x2﹣x1+ ﹣
=(x2﹣x1)﹣ =(x2﹣x1)(1+ ),
∵x1<x2<0,则x2﹣x1>0,x1x2>0,则有f(x1)﹣f(x2)>0,
f(x1)>f(x2)
则f(x)在(﹣∞,0)上为减函数
(2)
解:由 f(log2x)>0得|log2x|+ ﹣1>0,
当x∈(1,+∞),log2x>0,
则不等式变形为(log2x)2﹣log2x+m>0,
即m>﹣(log2x)2+log2x,
而g(x)=﹣(log2x)2+log2x=﹣(log2x﹣ )2+ ,
当log2x= ,即x= 时,g(x)取得最大值 ,
∴m> .
(3)
解:由f(x)=0可得x|x|﹣x+m=0,变为m=﹣x|x|+x,x≠0
令h(x)=x﹣x|x|=
作出函数h(x)的图象及直线y=m,由图象可得:
当m> 或m<﹣ 时,f(x)有1个零点.
当m= 或m=0或m=﹣ 时,f(x)有2个零点;
当0<m< 或﹣ <m<0时,f(x)有3个零点.
【解析】(1)f(x)在(﹣∞,0)上为减函数.运用函数的单调性的定义加以证明,注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤;(2)利用不等式恒成立,进行转化求解即可,(3)利用函数与方程的关系进行转化,利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,计算得 =80, =20, i=184, =720.
(1)求家庭的月储蓄对月收入的回归方程;
(2)判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
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【题目】圆C过点A(6,4),B(1,﹣1),且圆心在直线l:x﹣5y+7=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(7,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
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【题目】用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= ,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
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【题目】将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中,给出下列三个命题:
①△DBC是等边三角形;
②AC⊥BD;
③三棱锥D﹣ABC的体积是 .
其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)
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【题目】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,mα,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,mα,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
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【题目】设正项数列的前项和为,且满足, , ,各项均为正数的等比数列满足.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)若,数列的前项和为.若对任意, ,均有恒成立,求实数的取值范围.
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