Question

已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4（a，b，α，β为非零实数），f（2013）=5，求f（0）+f（1）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考点：数列的求和,函数的周期性

专题：等差数列与等比数列

分析：由f（2013）=5，可得-asinα-bcosβ+4=5，即asinα+bcosβ=-1，可得f（0）=asinα+bcosβ+4=3，f（1）=-asinα-bcosβ+4=5，f（2）=asinα+bcosβ+4=3，f（3）=-asinα-bcosβ+4=5，…，即可得出．

解答： 解：∵f（2013）=5，
∴asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）+4=5，
化为-asinα-bcosβ+4=5，
∴asinα+bcosβ=-1，
∵f（0）=asinα+bcosβ+4=3，
f（1）=-asinα-bcosβ+4=5，
f（2）=asinα+bcosβ+4=3，
f（3）=-asinα-bcosβ+4=5，
…，
∴f（0）+f（1）+…+f（2014）
=[f（0）+f（2）+…+f（2014）]+[f（1）+f（3）+…+f（2013）]
=1008×3+1007×5
=8059．

点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论方法、分组数列求和、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．