Question

f（x）和g（x）的定义域都是R，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

，那么

f(x)

g(x)

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

，可得f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=

1

x2+x+1

，进而求出f（x），g（x）的解析式，结合对勾函数的图象和性质，可得答案．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
又∵f（x）+g（x）=

1

x2-x+1

，…①
∴f（-x）+g（-x）=f（x）-g（x）=

1

x2+x+1

，…②
故f（x）=

x2+1

(x2+x+1)(x2-x+1)

，
g（x）=

x

(x2+x+1)(x2-x+1)

，
故

f(x)

g(x)

=x+

1

x

，
由对勾函数的图象和性质可得：

f(x)

g(x)

∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，对勾函数的图象和性质，其中根据已知求出f（x），g（x）的解析式是解答的关键．