Question

若函数f(x)=-

1

b

eax的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²=1相离，则P（a，b）与圆C的位置关系是（　　）

• A、在圆外
• B、在圆内
• C、在圆上
• D、不能确定

Answer 1

分析：求出f（x）的导函数，把x等于0代入导函数即可求出切线的斜率，然后把x等于0代入f（x）求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出直线l的方程，由题意可知直线l与圆相离，得到圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，让d大于圆的半径得到一个关系式，化简得到a²+b²＜1，即可得到点P与圆的位置关系．

解答：解：f′(x)=-

a

b

eax，∴f′(0)=-

a

b

．
又∵切点为（0，-

1

b

），
∴切线l的方程为y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0．
∴圆心C（0，0）到直线l的距离d=

1

a2+b2

＞1．
∴a²+b²＜1．
∴P（a，b）在圆C：x²+y²=1内．
故选B．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系及点与圆的位置关系所满足的条件，是一道多知识的综合题．