Question

4．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求异面直线EG、BD所成角的余弦值．
（2）求三棱椎E-FGC的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点N，连结NG，由三角形中位线定理得BD∥NG，则∠EGN就是异面直线EG，BD的夹角．取NG的中点O，连结AO，EO，然后通过求解直角三角形得答案；
（2）过E做EM⊥PD于M，由面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，可得CD⊥AD，得到CD⊥面PAD，有EM⊥CD，再由线面垂直的判定得EM⊥面PCD，得到EM为三棱椎E-FGC的高，由已知求出底面积可得三棱椎E-FGC的体积．

解答 解：（1）如图，取BC中点N，连结NG，
∵BD∥NG，
∴∠EGN就是异面直线EG，BD的夹角．
取NG的中点O，连结AO，EO，
由已知可求得：$EO=\sqrt{E{A^2}+A{O^2}}=\frac{{\sqrt{22}}}{2}$$OG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，EG=\sqrt{E{O^2}+O{G^2}}=\sqrt{6}$
∴$cos∠EGN=cos∠EGO=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$即为所求；
（2）过E做EM⊥PD于M，
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD，
∵EM?面PAD，
∴EM⊥CD，
∵CD∩PD=D，
∴EM⊥面PCD，
∵PA=AD=2，∠PAD=90°，
∴∠APD=45°，
又∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴$EM=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，FD=\sqrt{2}，CG=1$．
${V_{E-FGC}}=1×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，训练了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．