Question

12．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{BK}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{C{C}_{1}}$，则平面AKM与平面ABCD所成的锐二面角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=4，设平面AKM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AK}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=4，则D（0，0，0），A（4，0，0），K（4，4，1），M（0，4，2），
$\overrightarrow{AK}$=（0，4，1），$\overrightarrow{AM}$=（-4，4，2），
设平面AKM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AK}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{4y+z=0}\\{-4x+4y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，4），
取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）．
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{18}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设平面AKM与平面ABCD所成的锐二面角为θ．
则cosθ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinθ=$\frac{1}{3}$，
∴tanθ=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．