Question

20．已知实数x，y满足方程x²+y²=3，求$\frac{y+1}{x+3}$的范围．

Answer 1

分析 设B（x，y）为圆x²+y²=3上一点，A（-3，-1）．由直线的斜率公式得m=$\frac{y+1}{x+3}$是直线AB的斜率，因此作出图形并加以观察，根据直线与圆的位置关系建立关系式求出m的最大、最小值，即得m的取值范围．

解答 解：根据题意，可得
设A的坐标为（-3，-1），B（x，y）为圆x²+y²=3上一点，
令m=$\frac{y+1}{x+3}$，∴m可看作直线AB的斜率，
作出图形，当直线AB与圆相切时，m达到最值；
m=$\frac{y+1}{x+3}$可得y+1=mx+3m，即mx-y+3m-1=0．
直线与圆相切，可得$\sqrt{3}$=$\frac{|3m-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
解得：m=$\frac{3±\sqrt{21}}{6}$
则$\frac{y+1}{x+3}$的范围为[$\frac{3-\sqrt{21}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{6}$]．

点评 本题着重考查了直线的斜率、圆的方程、直线与圆的位置关系，考查转化思想以及数形结合的应用，属于中档题．